παραγοντικό

(Μαθημ.). Ονομάζεται έτσι στα μαθηματικά ο αριθμός 1 2 3 ... ν, όπου ν τυχόν φυσικός αριθμός, μεγαλύτερος ή ίσος του 2, και συμβολίζεται ν! Η σημασία του συμβόλου αυτού επεκτείνεται και για ν = 0 και ν = 1 με τους ορισμούς 0! = 1 και 1! = 1. Είναι φανερό ότι ισχύει: ν! = (ν-1)!ν για κάθε ν = 1, 2, 3,... (ύστερα και από τους τελευταίους δύο ορισμούς για τα σύμβολα 0!, 1!). Ο «τύπος» ν! ορίζει μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού της το σύνολο {0,1, 2,..., ν,...} και τις τιμές της στο σύνολο {1,2, 3, ..., ν, ...} των φυσικών αριθμών. Η συνάρτηση αυτή είναι αύξουσα, και μάλιστα «πολύ ταχέως»· έτσι είναι, για παράδειγμα, για ν = 10, 10! = 3628800. Ο αριθμός ν! εκφράζει και το πλήθος των μεταθέσεων ν αντικειμένων, δηλαδή το πλήθος των διατεταγμένων ν-άδων από ν αντικείμενα διαφορετικά μεταξύ τους (για παράδειγμα, τα σύμβολα 1, 2, 3, ..., v). Αν τεθεί ν! = φ(ν+1), τότε ισχύει: φ(ν+1) = νφ(ν) για κάθε v = 1, 2,..., ν,... (δηλαδή ν! = ν . (ν-1)!]· η συνάρτηση φ ορίζεται στο σύνολο Ν των φυσικών αριθμών. Μια επέκτασή της είναι η ονομαζόμενη γάμμα-συνάρτηση, που συμβολίζεται, διεθνώς, με το, ελληνικό, γράμμα Γ. Η Γ είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής και ορίζεται, γενικά, στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, εκτός από τους αρνητικούς αριθμούς και τον 0. Αν περιοριστούμε στους θετικούς αριθμούς x, είναι: (για κάθε x > 0) και ισχύει: Γ(x+1) = xΓ(x) για κάθε x > 0, όπως για τη φ ισχύει: φ(ν+1) = νφ(ν) για κάθε v = 1, 2 ... Η συνάρτηση αυτή παίζει ιδιαίτερο ρόλο στα μαθηματικά και στις εφαρμογές. Το επίθετο χαρακτηρίζει επίσης και τη σειρά του αριθμού e, παραγοντική σειρά, δηλαδή τη σειρά Η σειρά αυτή συγκλίνει με άθροισμα τον e, που χρησιμοποιείται ως βάση του συστήματος των φυσικών λογαρίθμων.

* * *

το

μαθημ. γινόμενο φυσικών διαδοχικών αριθμών από τη μονάδα ως έναν δεδομένο φυσικό αριθμό.

[ΕΤΥΜΟΛ. < παράγοντας, απόδοση στην ελλ. τού γαλλ. factorielle (< facteur «παράγοντας» < λατ. factor)].